【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。  

第十二章曲线运动，转动

(资料图片仅供参考)

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳。另外这套老教材中的力的单位常用公斤，如今是不允许的，力是不能使用公斤为单位的】 

§12-3斜抛物体的运动

【01】炮弹在空中的运动（图12·8），从救火龙头里喷出来的水点的运动（图12·9）等都是斜抛运动。它们先沿曲线 OBA 上升，到达最高点 A 后，又沿曲线 ACD 下降。

【02】斜抛物体的运动，也可以看作是由下面两种运动合成的。一种是物体由于惯性而用初速度 v₀ 沿抛射方向作匀速直线运动，另一种是在重力作用下的自由落体运动。因此，斜抛物体的运动规律可以用下列公式来表示：

【03】式中 v斜 和 S斜 是物体沿抛射方向的速度和距离，vy 和 Sy 是物体沿竖直方向的速度和距离。

【04】我们先来作出斜向上抛的物体的运动轨迹，然后再简单地分析一下。我们仍旧举几个例题来说明。

例3.用60米/秒的初速度与水平面成45°的角把一个物体斜向上抛。试作出这个物体的运动轨迹。取g＝10米/秒²。

【解】利用上面的公式，v₀＝60米/秒，代入得 S斜＝60t，Sy＝1/2×10×t²＝5t²  。用 t＝0,1,2…代入，得下表：

作沿地面的水平直线 Ox，再作与 Ox 成45°角的直线 OS  。在 OS 上取相等线段（图中是1厘米）OA、AB、BC…。因为物体在斜线上作匀速直线运动，所以OA、AB、BC…各线段的长度分别代表物体在第1秒内、第2秒内、第3秒内……所通过的距离，也就是各线段都代表60米。

物体原来位于 O 点。在开始运动后的第1秒末，物体沿斜线走到 A 点，OA＝60米，同时又竖直向下走了5米，AA₁＝5米，所以第1秒末物体实际上的位置是在 A₁ 点。同样，第2秒末，物体又沿斜线走了60米到达 B 点，AB＝60米，但同时它竖直向下走了20米，BB₁＝20米，所以第2秒末物体实际上的位置是在B₁点。依此类推，得到第3秒末物体位于 C₁ 点，第4秒末物体位于 D₁ 点……把A₁、B₁、C₁…各点平滑地联结起来，就得到物体的运动轨迹。轨迹曲线和Ox直线的交点 J₁ 表示物体的落地点。

从图上可以求出：(1)从出发点到达落地点的距离（一般叫做水平射程）。量得 OJ₁＝6.0厘米，因为我们用1厘米的线段代表60米，所以 OJ₁ 代表60×6.0＝360米。(2)物体到达的最大高度。从图中可以看出，K₂K₁ 这一线段代表最大高度，量得K₂K₁＝1.5厘米，所以它代表60×1.5＝90米。(3)物体从出发点到达落地点所经过的时间。量得 OJ＝8.5厘米，它代表物体在落地前沿抛射方向走了60×8.5＝510米。由于在这个方向的运动是匀速的，求得经过的时间为510÷60＝8.5秒。(4)物体从出发点到达最高点所经过的时间。量得 OK＝4.25厘米，应用同样的方法求得所经过的时间为4.25秒。

【05】如果把初速度 v₀ 分解成为两个互相垂直的分速度，一个是水平方向的 v₀cosθ 另一个是竖直向上方向的 v₀sinθ，θ 是 v₀与水平方向所夹的角，也就是斜抛物体的投射角（图12·11）；那么，斜抛物体的运动，也可以看作是由这样两个运动合成的：一个是沿水平方向的匀速直线运动，匀速度为 v₀cosθ；另一个是初速度为 v₀sinθ 的竖直上抛运动。所以斜抛物体的运动规律，也可以写成：

【06】式中 vx 和 x 是物体沿水平方向(x轴)的速度和距离；vy 和 y 是物体沿竖直向上方向(y轴)的速度和距离。

例4.把斜抛物体运动分解为竖直方向和水平方向上的分运动来解例3。

【解】已知 v₀＝60米/秒，θ＝45°。代入上列 x 和 y 两式，得

用 t＝0,1,2…代入（用四舍五入），列成下表：

作Ox轴和Oy轴。两轴上分别取相等线段（图中是1厘米)，每一线段都代表60米。把表中各点画出来，如O、A、B.….平滑地联结这些点，就得到物体的运动轨迹（图12·12）。

从图中也可以求出(1)物体的水平射程。量得OI＝6.0厘米，因为1厘米代表60米，所以水平射程＝60×6.0＝360米。(2)物体的落地时间。用上面的关系式 x＝42.42t，即可求得 t＝360/42.42≈8.5秒。

【07】用作图法时，由于受到仪器的限制（如直尺只能量到毫米等），所以得到的结果总是近似值。在下面的例5中我们还要进一步用数学公式来求解。

【08】抛射物体的射程由两个因素来决定，即初速度和投射角。

【09】当投射角一定的时候，射程随着初速度的增加而增加。图12·13就是表示这种关系的实验装置。管子里喷出来的水点的初速度，决定于喷口和玻璃圆简内水面的高度差。高度差越大，喷出水点的初速度就越大，因而射程也越远。

【10】当初速度的大小一定的时候，抛射物体的射程随着投射角的改变而改变。如果我们把喷水的管子接到大口径的容器上，使实验过程中水面的降低很少，那么管中喷出来的水点的初速度可以认为是不变的。这样，逐渐增加它的投射角，就可以看到，最初水点的射程随着投射角的增加而增加，而当投射角增加到某一数值时，射程为最大，以后再继续增加时，射程就要减小（图12·14）。如果没有空气阻力，当投射角等于45°时，抛射物体的射程为最大。

【11】以上的讨论，都是把空气阻力等略去不计，实际上，空气阻力的影响很大，它不仅使抛射物体的射程减小，也使轨迹上最高点的高度减小。图12·15就表示这种关系。虚线表示用相同的初速度和投射角在不计空气阻力时抛射物体的轨迹，实线表示抛射物体的实际飞行轨迹。显然，从图中可以看到它们的相差很大。

例5.地面上用投射角45°和初速度60米/秒投抛一个小球。求(1)小球上升到最高点的高度，(2)小球从抛出到落地所需的时间，(3)小球的水平射程。取g＝10米/秒²。

【解】

(1)我们把抛射物体的运动看作是由以初速度 v₀cosθ 为速度的沿水平方向的匀速直线运动，和以初速度 v₀sinθ 的竖直上抛运动的合运动。因此，表达它的运动规律的公式就是（见335页）【山引||  见本篇专栏第5段】：

现在就利用这一组公式来求下面各项。

(2)小球上升到最高点的高度。也就是要求图12·16中的 AB  。我们知道 A 点的特点是竖直方向的速度等于零（水平方向的速度不等于零），即vy＝0，因为在 A 点以前，物体沿曲线 OA 上升，这时速度的方向斜向上方；过了 A 点，物体沿曲线 AC 下降，这时速度的方向斜向下方，速度的方向由斜向上方变为斜向下方时，必然有一点的竖直分速度等于零，这就是 A 点。因此，设从出发点 O 到达最高点 A 所经历的时间为 t，则。

于是。

把v₀＝60米/秒，θ＝45°代入，求得小球上升到最高点的高度为

(3)小球从抛出到落地所需的时间。这个时间就是小球从被抛出开始到落到地面时所经历的时间，也就是图12·16中小球从 O 点沿曲线经 A 点落到 C 点所化的时间。从图中可以看出 C 点在x轴上，y=0。所以，设所求的时间为 t₂，则。

解方程式时，还有一个 t₂＝0，它表示小球刚被抛出但尚未离开 O 点时 (y＝0) 的时间。同时，我们还可以看到，t₂＝2t₁【山注||  原文此处“1”是上标】这个关系表明小球沿 OA 曲线上升所化的时间与小球沿曲线 AC 下降所化的时间相等。这是竖直上抛和斜向上抛运动的特点，即上升时间等于下落时间。

把 v₀ 和 θ 的数字代入，求得落地时间为

(4)小球的水平射程。即求出图中的 OC 长度。我们既然已经知道了 t₂，则代入 x 的式子，即得。

用数字代入，得

【12】把这些用公式所求得的各个量和例3中用图解法求得的结果比较一下。

习题12-3

1、根据物体作曲线运动的条件来分析为什么平抛运动和斜抛运动都是曲线运动。

2、物体作平抛运动或斜抛运动时，怎样求得它在任何时刻的速度大小？[提示：参看习题12-2第5题]

3、在距离地面2公里的高空，有一架飞机正在进行水平飞行，在离目标3公里（水平距离）的时侯，投下一颗炸弹，恰好击中目标。问炸弹在空中的时间是几秒？飞机的速度是多少公里/小时？取g=10米/秒²。【20秒，540公里/小时】

4、设平抛物体运动的初速度为v₀，在抛出后 t 秒末的速度为 v，试证明：v²＝v₀²＋g²t²  。如果下落竖直距离 h 时的速度为 v，试证明：v²＝v₀²＋2gh  。

5、子弹从与水平方向成60°角的枪中射出，离开枪口的速度是400米/秒。问子弹在最高点时的速度是多少？方向怎样？在离地面395米高空处子弹的速度是多少？g=10米/秒²。（不计空气阻力）【200米/秒，水平方向；390米/秒】

6、用初速度7840厘米/秒和投射角30°把一个物体投抛出去，求：(1)2秒钟后物体离地面的竖直距离，(2)物体到达的最高距离和所化时间，(3)物体的水平射程。（不计空气阻力）【(1)5880厘米，(2)7840厘米，4秒，(3)约54300厘米】